解: 係数はどこを動く？

 

apple10math.hatenablog.com

 の解答編です.　問題は以下の通りでした: 

D_n :=  \{(c_1,...,c_n) \in \mathbb{R}^n \mid \forall x \in \mathbb{C},\  x^n+c_1x^{n-1}+...+c_{n-1}x + c_n = 0 \Rightarrow x \in [0,1] \}

  = \{\ 0 以上 1 以下の実数解のみを持つモニック n 次代数方程式の係数の組 \}

 とおく.

D_nの(n次元)体積 a_n を n の式で表すと？

　解答.  \displaystyle a_n = \prod_{k=1}^{n-1}\frac{(k!)^2}{(2k+1)!} 、つまり、 \displaystyle a_1=1,\, \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}.

　この問題は、Selberg積分と呼ばれる積分の特殊な例です.

　特殊な例です、とか知ってるみたいに書きましたが、そのことを知ったのはこの問題が完全に解けてからです. Selbergはさらに一般の式も導いています. Selbergすごい(当然) *1.

　この問題の面白いところは、 nまでの数を扱っているのに、 (2n-1)!という項が出てくるところです.

　自分がやった証明を紹介しようと思います. その前に、対称式と交代式について、基本的な事項をやっておきます.

定義1. n次対称群を \mathfrak{S}_n, 置換 \sigma \in \mathfrak{S}_nの符号を {\rm sgn} \sigmaで書く. \mathbb{C}係数 n変数有理式 f(x_1,...,x_n)が

 (i)対称式であるとは、任意の \sigma \in \mathfrak{S}_nについて、 f(x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)}) = f(x_1,...,x_n)が成り立つこと.

 (ii)交代式であるとは、任意の \sigma \in \mathfrak{S}_nについて、f(x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})={\rm sgn}\sigma \ f(x_1,...,x_n)  が成り立つこと.

 定理2(対称式の基本定理 *2 ). fを \mathbb{C}係数 n変数有理式とする. s_1,...,s_nを基本対称式

\displaystyle s_i = \frac{1}{i! (n-i)! } \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}  \prod_{k=1}^i x_{\sigma (i)}とする.  fが対称式なら、 n変数有理式 gが存在して、 f(x_1,...,x_n)=g(s_1,...,s_n).

証明. fが多項式のときは、

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に詳しい.  \displaystyle f = \frac{f_2}{f_1}を対称式である有理式、 f_1, f_2は多項式とする.

\displaystyle F_1(x_1,...,x_n) := \prod_{\sigma \in \mathfrak{S}_n } f_1(x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})

\displaystyle F_2(x_1,...,x_n) := f_2(x_1,...,x_n) \prod_{\sigma \in \mathfrak{S}_n \backslash \{ {\rm id} \} } f_1(x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})

とおけば、 \displaystyle f = \frac{F_2}{F_1}. F_1は対称式な多項式より、 F_1(x_1,...,x_n) = g_1(s_1,...,s_n)となる多項式 g_1がとれる. また、 fも対称式なので F_2= F_1 fも対称式. 従って、 F_2(x_1,...,x_n) = g_2(s_1,...,s_n)となる多項式 g_2がとれる. 

　 \displaystyle g = \frac{g_1}{g_2}とおけばよい.(終)

系3. fが交代式なら、 n変数有理式 gが存在して、 f(x_1,...,x_n)=\Delta \cdot g(s_1,...,s_n). ただし、 \Delta =\Delta(x_1,...,x_n)は差積 \displaystyle \Delta = \prod_{1 \leq i \lt j \leq n }(x_j - x_i).

証明. \displaystyle \frac{g}{\Delta}は対称式である.(終)

　では、 a_nを求めていきます.

　 \displaystyle a_n = \int_{D_n} 1 dxであり、 D_nは

　 D_n =  \{(c_1,...,c_n) \in \mathbb{R}^n \mid \forall x \in \mathbb{C},\  x^n+c_1x^{n-1}+...+c_{n-1}x + c_n = 0 \Rightarrow x \in [0,1] \} で与えられていました.

　 T_n := \{(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n \mid 0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq 1 \} について、

　 F: T_n \to D_nを F(x_1,...,x_n) := (-s_1,s_2,-s_3,...,(-1)^n s_n)で定めれば、これは全単射. なぜなら、 T_nの元が D_nに送られることと全射性は、解と係数の関係そのもの. 単射性は, 任意の x = (x_1,..., x_n), y=(y_1,..., y_n) \in T_nについて、 F(x)=F(y)なら解と係数の関係より数列 x_1,...,x_nは数列 y_1,...,y_nの並び替えですが、 T_nの定義からこれらはどちらも単調非減少、従って x =yがいえます.

 　積分の変数変換により、

\displaystyle a_n = \int_{D_n} 1 dx = \int_{F^{-1}D_n} |{\rm det} \; JF| dx = \int_{T_n} |{\rm det} \; JF| dx, ただし JFは Fのヤコビアンで、 |{\rm det} \; JF|はヤコビアンの行列式の絶対値.

　補題4.  \displaystyle {\rm det} \; JF = (-1)^n \Delta =(-1)^n \prod_{1 \leq i \lt j \leq n }(x_j - x_i).

証明. 行列 \displaystyle JF = \left( (-1)^i \frac{\partial s_i}{\partial x_j} \right)_{i,j}

において、置換 \sigma \in \mathfrak{S}_nによる作用 (x_i) \to (x_{\sigma(i)})は(単に)行の入れ替えを引き起こすので、行列式の基本性質から {\rm det} \; JFは交代式. さらに、その( x_1,...,x_nの多項式としての)次数は、 \frac{n(n-1)}{2}なので、対称式の基本定理から {\rm det} \; JFは \Deltaの定数倍. \displaystyle \Deltaを展開したときの

x_1^{n-1}x_2^{n-2} \cdots x_{n-1}の項の係数は \displaystyle (-1)^{n(n-1)/2}, 一方 \displaystyle {\rm det} \; JF = \left| (-1)^i \frac{\partial s_i}{\partial x_j} \right|_{i,j}=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} {\rm sgn} \sigma \prod_{i=1}^{n}(-1)^i \frac{\partial s_i}{\partial x_{\sigma(n)}}と展開した際に x_1^{n-1}x_2^{n-2} \cdots x_{n-1}の項が出てくるのは \sigma = {\rm id}の項のみ( \displaystyle \frac{\partial s_n}{\partial x_{\sigma(n)}}に x_nが出てこないのは \sigma(n)=nのときのみで、さらにそのとき \displaystyle \frac{\partial s_{n-1}}{\partial x_{\sigma(n-1)}}に x_{n-1}も x_{n}も含まない項が出てくるのは \sigma(n-1)=n-1のときのみで、……と考えていけばわかる.)で、その係数は {\rm sgn}\, {\rm id} \prod_{i=1}^{n}(-1)^i = (-1)^{n(n+1)/2}.

　従って {\rm det} \; JF = (-1)^n\Delta.(終)

　特に、 \Deltaと T_nの定義に注意すれば

\displaystyle a_n = \int_{T_n} |{\rm det} \; JF| dx =  \int_{T_n} |(-1)^n \Delta | dx = \int_{T_n} \Delta dx.

　Vandermonde行列式の展開から、

\displaystyle \Delta(x_1,...,x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} {\rm sgn} \sigma \prod_{i=1}^{n}x_i^{\sigma(i)-1}、従って

 \displaystyle a_n = \int_{T_n} \Delta dx = \int_{T_n} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} {\rm sgn} \sigma \prod_{i=1}^{n}x_i^{\sigma(i)-1} dx = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \int_{T_n} {\rm sgn} \sigma \prod_{i=1}^{n}x_i^{\sigma(i)-1} dx = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \frac{ {\rm sgn} \sigma}{ \prod_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{i} \sigma(j) \right)}.

　ここで、最後の等号は

 

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の補題.

　これに対し、次の定理を用いる.

定理5*3.   \displaystyle \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \frac{ {\rm sgn} \sigma}{\displaystyle \prod_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{i} x_{\sigma(j)} \right)}= \frac{\displaystyle \prod_{1 \leq i \lt j \leq n}(x_j-x_i)}{\displaystyle  \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)\prod_{1 \leq i \lt j \leq n}(x_i+x_j)}.

証明. 数学的帰納法. n=1のときは明らか. n-1で成り立つとする.

　 \alpha := (1\, 2\, 3\, ... \, n) \in \mathfrak{S_n},\ C_n := \{ {\rm id}, \alpha, \alpha^2,..., \alpha^{n-1}\} \subset \mathfrak{S_n}とする.

　 \mathfrak{S}_nの部分群 \mathfrak{S}_{n,1} := {\rm Stab}(\mathfrak{S}_n,1) := \{ \sigma \in \mathfrak{S}_n \mid \sigma (1) = 1\}は \mathfrak{S}_{n-1}と同型であることと左剰余類分解 \mathfrak{S}_n = \mathfrak{S}_{n,1} \sqcup  \mathfrak{S}_{n,1} \alpha \sqcup \ldots \sqcup\mathfrak{S}_{n,1} \alpha^{n-1}に注意すれば、

  \displaystyle \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \frac{ {\rm sgn} \sigma}{ \prod_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{i} x_{\sigma(j)} \right)}= \frac{1}{\sum_{i=1}^n x_{i}} \cdot \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \frac{ {\rm sgn} \sigma}{ \prod_{i=1}^{n-1} \left(\sum_{j=1}^{i} x_{\sigma(j)} \right)}

  \displaystyle = \frac{1}{\sum_{i=1}^n x_{i}} \cdot \sum_{\gamma \in C_n} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n,1}} \frac{ {\rm sgn} \sigma \gamma}{ \prod_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{i} x_{ \sigma \gamma(j)} \right)}

  \displaystyle = \frac{1}{s_1} \cdot  \sum_{\gamma \in C_n} {\rm sgn} \gamma \  \frac{\prod_{1 \leq i \lt j \leq n-1} (x_{\gamma(j)}-x_{\gamma(i)}) }{\left( \prod_{i=1}^{n-1} x_{\gamma(i)} \right)\prod_{1 \leq i \lt j \leq n-1}(x_{\gamma(i)}+x_{\gamma(j)})}

  \displaystyle = \frac{1}{s_1} \cdot \frac{1}{\left( \prod_{i=1}^{n} x_{i} \right)\prod_{1 \leq i \lt j \leq n}(x_{i}+x_{j})} \sum_{\gamma \in C_n} {\rm sgn} \gamma \  x_{\gamma(n)} \prod_{i=1}^{n-1}(x_{\gamma(n)}+x_{\gamma(i)})\prod_{1 \leq i \lt j \leq n-1} (x_{\gamma(j)}-x_{\gamma(i)}).

ここで、分母は対称式なので

 \displaystyle  \sum_{\gamma \in C_n} {\rm sgn} \gamma x_{\gamma(n)} \prod_{i=1}^{n-1}(x_{\gamma(n)}+x_{\gamma(i)})\prod_{1 \leq i \lt j \leq n-1} (x_{\gamma(j)}-x_{\gamma(i)})

は交代式、そして \frac{(n-1)n}{2} +1次(斉次)ですが、 \Deltaは \frac{(n-1)n}{2}次で、 1次斉次対称式は s_1の定数倍しかないので

 \displaystyle \sum_{\gamma \in C_n} {\rm sgn} \gamma \  x_{\gamma(n)} \prod_{i=1}^{n-1}(x_{\gamma(n)}+x_{\gamma(i)})\prod_{1 \leq i \lt j \leq n-1} (x_{\gamma(j)}-x_{\gamma(i)}) = C \Delta s_1,

x_n^n x_{n-1}^{n-2}... x_3^2 x_2の項の係数を(左辺で x_nの次数が nになる項が出てくるのは \gamma (n)=n,つまり \gamma = {\rm id}の項しかないことに注意して)比較して C=1を得る. (終)

　従って、

 \displaystyle a_n = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \frac{ {\rm sgn} \sigma}{ \prod_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{i} \sigma(j) \right)} = \frac{\prod_{1 \leq i \lt j \leq n}(j-i)}{\left( \prod_{i=1}^{n} i \right)\prod_{1 \leq i \lt j \leq n}(i+j)},

\displaystyle \frac{a_{n}}{a_{n-1}} = \frac{(n-1)(n-2)\cdots (n-(n-2))(n-(n-1))}{n\cdot (n+1)(n+2)\cdots (n+(n-1))}=\frac{((n-1)!)^2}{(2n-1)!}

となって、目的の式が得られました.

 

　また後で他の証明について書くかもです.

*1:Atle Selberg(1917-2007)はノルウェーの数学者、1950年のフィールズ賞受賞者で、セルバーグの篩法やセルバーグゼータ関数に名を残しています. リーマンゼータ関数の零点のうち臨界線上にあるものが正の割合であることを示したのもこの人です

*2:証明の主である有理式についても成り立つことを示す部分の方は、一般にはイタリアの問題(the Italian problem)と呼ばれるらしいです.

*3:上の記事の定理と対になっている、一般化がありそう